При каком наименьшем натуральном n число n! делится на 1000? (n! (читается как "эн факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n).

Для того чтобы найти наименьшее натуральное число $n$, при котором $n!$ (факториал числа $n$) делится на 1000, необходимо разложить 1000 на простые множители.

1000 можно разложить как:

Значит, факториал $n!$ должен содержать как минимум три множителя 2 и три множителя 5.

Теперь нужно понять, при каком $n$ в факториале будет достаточное количество этих множителей.

1. Число множителей 2 в $n!$:
   Количество множителей 2 в факториале можно вычислить по формуле:

   $$\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{8} \right\rfloor + \dots$$

   Это количество чисел, которые делятся на 2, 4, 8 и так далее.

2. Число множителей 5 в $n!$:
   Количество множителей 5 в факториале можно вычислить по аналогичной формуле:

   $$\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor + \dots$$

   Это количество чисел, которые делятся на 5, 25, 125 и так далее.

Теперь проверим, при каком минимальном $n$ и 2, и 5 встречаются хотя бы по три раза.

Проверка для $n = 10$:

• Множители 2: $\left\lfloor \frac{10}{2} \right\rfloor = 5$, $\left\lfloor \frac{10}{4} \right\rfloor = 2$, $\left\lfloor \frac{10}{8} \right\rfloor = 1$. Итого: 5 + 2 + 1 = 8 множителей 2.

• Множители 5: $\left\lfloor \frac{10}{5} \right\rfloor = 2$. Итого: 2 множителя 5.

Здесь количество множителей 5 меньше трех, так что $10!$ не делится на 1000.

Проверка для $n = 15$:

• Множители 2: $\left\lfloor \frac{15}{2} \right\rfloor = 7$, $\left\lfloor \frac{15}{4} \right\rfloor = 3$, $\left\lfloor \frac{15}{8} \right\rfloor = 1$. Итого: 7 + 3 + 1 = 11 множителей 2.

• Множители 5: $\left\lfloor \frac{15}{5} \right\rfloor = 3$. Итого: 3 множителя 5.

Теперь у нас есть 3 множителя 5 и 8 множителей 2, что означает, что $15!$ делится на 1000.

Таким образом, наименьшее натуральное число $n$, при котором $n!$ делится на 1000, равно 15.