Из 25 учащихся класса каждый изучает английский или немецкий язык. Известно, что 17 учащихся изучают английский язык, а 12 — немецкий. Сколько учащихся изучают оба языка?

Для решения этой задачи нужно воспользоваться принципом включений и исключений.

Пусть:

• $A$ — множество учащихся, изучающих английский язык.

• $B$ — множество учащихся, изучающих немецкий язык.

Из условия задачи:

• Общее количество учащихся в классе — 25.

• 17 учащихся изучают английский язык, то есть $|A| = 17$.

• 12 учащихся изучают немецкий язык, то есть $|B| = 12$.

Нам нужно найти, сколько учащихся изучают оба языка, то есть $|A \cap B|$, количество элементов, принадлежащих и множеству $A$, и множеству $B$.

Используя принцип включений и исключений, общее количество учащихся, которые изучают хотя бы один язык, будет:

Так как в классе всего 25 учащихся, то $|A \cup B| = 25$. Подставим известные значения:

Решим это уравнение для $|A \cap B|$:

Таким образом, 4 учащихся изучают оба языка.