На рисунке изображено пять одинаковых квадратов, площадь каждого квадрата равна 16 см2. Вершины закрашенного многоугольника являются
серединами сторон квадратов. Найдите площадь серого восьмиугольника.​

Для решения задачи найдем площадь серого восьмиугольника, используя информацию о квадрате и расположении его вершин.

1. Определим размер одного квадрата:
   Из условия известно, что площадь каждого квадрата равна $16 \ \text{см}^2$. Площадь квадрата $S$ выражается через длину его стороны $a$ по формуле:

   $$S = a^2$$

   Подставим значение площади:

   $$16 = a^2$$

   Найдём длину стороны квадрата $a$:

   $$a = \sqrt{16} = 4 \ \text{см}$$

   Таким образом, длина стороны каждого квадрата равна $4 \ \text{см}$.

2. Рассмотрим расположение квадратов:
   Пять квадратов одинакового размера расположены так, что один из квадратов расположен в центре, а четыре остальных примыкают к его сторонам. Вершины закрашенного восьмиугольника — это середины сторон квадратов, что означает, что серый восьмиугольник образуется из центральной области, ограниченной этими вершинами.

3. Поймём форму серого восьмиугольника:
   Серый восьмиугольник состоит из центральной области, ограниченной линиями, соединяющими середины сторон соседних квадратов. Это симметричная фигура, имеющая 8 сторон, которые образуются из частей сторон квадратов.

4. Рассчитаем площадь серого восьмиугольника:
   Разделим восьмиугольник на более простые фигуры для вычисления его площади. В данном случае можно выделить четыре прямоугольных треугольника, вершины которых — середины сторон центрального квадрата и середины сторон соседних квадратов. Эти треугольники равны между собой.

   Рассчитаем площадь одного такого треугольника. Поскольку длина стороны квадрата равна $4 \ \text{см}$, расстояние между серединой стороны одного квадрата и серединой стороны соседнего квадрата равно $\frac{4}{2} = 2 \ \text{см}$. Это расстояние образует катеты прямоугольного треугольника.

   Площадь одного прямоугольного треугольника $S_{\text{треуг}}$ рассчитывается по формуле:

   $$S_{\text{треуг}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

   где $a$ и $b$ — длины катетов (по 2 см каждый):

   $$S_{\text{треуг}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \ \text{см} \cdot 2 \ \text{см} = 2 \ \text{см}^2$$

   Поскольку таких треугольников четыре, общая площадь этих треугольников равна:

   $$4 \cdot 2 \ \text{см}^2 = 8 \ \text{см}^2$$

5. Найдём площадь центрального квадрата, которая остаётся после вычитания треугольников:
   Площадь центрального квадрата равна $16 \ \text{см}^2$. Вычтем из неё площадь четырех треугольников:

   $$S_{\text{восьмиуг}} = 16 \ \text{см}^2 - 8 \ \text{см}^2 = 8 \ \text{см}^2$$

   Таким образом, площадь серого восьмиугольника равна $8 \ \text{см}^2$.