В лифт девятиэтажного здания на первом этаже заходят 3 человека. Они могут выйти на любом этаже (кроме первого этажа) и на одном этаже может выйти только один человек. Сколько различных вариантов при этом существует?

Для решения задачи нужно учесть, что три человека заходят в лифт на первом этаже, и каждый из них может выйти на одном из этажей с 2-го по 9-й. Кроме того, на одном этаже может выйти только один человек, то есть каждый человек выходит на своем этаже.

Задача сводится к тому, чтобы выбрать 3 этажа из 9 возможных и назначить каждому из трех человек свой этаж. Это классическая задача на размещения.

1. Выбор этажей: Нам нужно выбрать 3 этажа из 9. Для этого существует $\binom{9}{3}$ способов. Это количество сочетаний из 9 по 3, которое вычисляется по формуле:

   $$\binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$$

   То есть, существует 84 способа выбрать 3 этажа.

2. Назначение людей на выбранные этажи: После того как мы выбрали 3 этажа, нужно назначить каждому из 3 людей свой этаж. Для этого существует 3! (факториал 3) способов распределить людей по этим этажам. Это равняется:

   $$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$

3. Общее количество вариантов: Теперь нужно умножить количество способов выбрать этажи на количество способов распределить людей по этим этажам:

   $$84 \times 6 = 504$$

Ответ: существует 504 различных варианта.