Ученик не заметил знак умножения между двумя трехзначными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. Найдите эти числа

Пусть ученик должен был перемножить два трёхзначных числа $a$ и $b$, но вместо знака умножения просто приписал второе число к первому. Тогда получилось шестизначное число

(потому что при приписывании трёх цифр число $a$ “сдвигается” на три разряда, то есть умножается на 1000).

По условию это число оказалось в 7 раз больше произведения:

Перенесём $b$ в правую часть:

Значит,

Теперь важное наблюдение: числа $a$ и $7a-1$ взаимно просты.
Действительно, если некоторое число $d$ делит и $a$, и $7a-1$, то оно делит их линейную комбинацию:

то есть $d\mid 1$, значит $d=1$. Следовательно,

Из равенства

и взаимной простоты $a$ и $(7a-1)$ следует, что $(7a-1)$ обязано делить $1000$ (потому что весь множитель $(7a-1)$ “не может” уйти в $a$, остаётся делить 1000).

То есть:

Но $a$ — трёхзначное, значит $100 \le a \le 999$, тогда

Итак, $(7a-1)$ — делитель числа 1000, лежащий в промежутке от 699 до 6992. Среди делителей 1000 это возможно только для числа 1000 (потому что остальные делители 1000 не превышают 500, кроме самого 1000).

Значит,

Отсюда:

Теперь найдём $b$. Подставим в

Так как $7a-1=1000$, получаем:

Проверка:

• произведение $143\cdot 143 = 20449$,

• в 7 раз больше: $7\cdot 20449 = 143143$,

• приписывание $143$ к $143$ даёт $143143$. Совпало.

Ответ: числа $143$ и $143$.