Начертите окружность с центром О, радиус которой равен 3 см. Проведите луч с началом в точке О и отметьте на нём точку А, удалённую от точки О на 5 см. Проведите окружность с центром в точке А, радиус которой: 1) 2 см; 2) 2 см 5 мм; 3) 1 см 5 мм. Сколько общих точек имеют окружности в каждом из этих случаев?

Рассмотрим две окружности:

• первая окружность с центром О и радиусом 3 см;

• вторая окружность с центром А, причём ОА = 5 см.

Количество общих точек двух окружностей зависит от расстояния между их центрами и от их радиусов.

Обозначим:

• $R = 3$ см — радиус первой окружности,

• $r$ — радиус второй окружности,

• $d = OA = 5$ см — расстояние между центрами.

Для двух окружностей:

• если $d = R + r$, то они имеют 1 общую точку (внешнее касание);

• если $|R - r| < d < R + r$, то они имеют 2 общие точки;

• если $d > R + r$, то они не имеют общих точек.

Теперь разберём каждый случай.

1) Радиус второй окружности 2 см

Имеем:

• $R = 3$ см,

• $r = 2$ см,

• $R + r = 3 + 2 = 5$ см.

Так как $d = 5$ см, то

Значит, окружности касаются внешним образом и имеют 1 общую точку.

2) Радиус второй окружности 2 см 5 мм

Переведём: $2$ см $5$ мм = $2{,}5$ см.

Тогда:

• $R = 3$ см,

• $r = 2{,}5$ см,

• $R + r = 5{,}5$ см,

• $|R - r| = |3 - 2{,}5| = 0{,}5$ см.

Получаем:

То есть

Следовательно, окружности пересекаются в двух точках.

3) Радиус второй окружности 1 см 5 мм

Переведём: $1$ см $5$ мм = $1{,}5$ см.

Тогда:

• $R = 3$ см,

• $r = 1{,}5$ см,

• $R + r = 4{,}5$ см.

Так как

то окружности расположены слишком далеко друг от друга и не имеют общих точек.

Ответ:

1. 1 общая точка;

2. 2 общие точки;

3. 0 общих точек.