Что является графиком уравнения ax + by = c, если хотя бы одно из чисел a или b не равно нулю?

Графиком уравнения

если хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю, является прямая линия на координатной плоскости.

Это уравнение называется линейным уравнением с двумя переменными. Его решениями являются пары чисел $(x; y)$, которые при подстановке в уравнение обращают его в верное равенство. Каждая такая пара соответствует точке на плоскости. Все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению $ax + by = c$, лежат на одной прямой.

Например, уравнение

задаёт прямую. Можно найти несколько решений этого уравнения, отметить соответствующие точки на координатной плоскости, и они окажутся на одной прямой.

Важно условие, что хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю. Если бы одновременно $a = 0$ и $b = 0$, уравнение приняло бы вид

то есть

Такое равенство либо не имеет решений, если $c \ne 0$, либо выполняется для любых $x$ и $y$, если $c = 0$. Поэтому в этом случае нельзя говорить об обычной прямой как о графике уравнения.

Также возможны частные случаи:

если $a \ne 0$, а $b = 0$, то уравнение имеет вид

или

Его график — вертикальная прямая.

Если $a = 0$, а $b \ne 0$, то уравнение имеет вид

или

Его график — горизонтальная прямая.

Если же $a \ne 0$ и $b \ne 0$, то графиком будет наклонная прямая.

Итак, графиком уравнения $ax + by = c$, где хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю, является прямая.