Сколько лет человеку, если в 2012 году его возраст оказался равным сумме цифр года его рождения.

Загадка №2

Двадцать одна девочка и двадцать один мальчик принимали участие в математическом конкурсе. Каждый участник решил не более шести задач. Для любых девочки и мальчика найдётся хотя бы одна задача, решённая обоими. Докажите, что была задача, которую решили не менее трёх девочек и не менее трёх мальчиков.

Загадка №3

Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?

Загадка №4

В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.

Загадка №5

Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800.

Ответ на загадку №1:

Человек родился в таком году $x$, что сумма цифр года рождения равна возрасту в 2012 году. Пусть $x$ — год рождения, тогда возраст человека в 2012 году равен $2012 - x$. По условию, $2012 - x = \text{сумма цифр } x$. Рассмотрим возможные значения $x$:

• Год рождения $x$ должен быть меньше $2012$, чтобы возраст был положительным.
• Максимальная сумма цифр года рождения $x$ — $36$ (например, для $x = 1999$).

Перебираем возможные $x$. Например, для $x = 1980$:

Перебираем далее и находим, что $x = 1984$ удовлетворяет условию:

Таким образом, человеку в 2012 году было 28 лет, и он родился в 1984 году.

Ответ на загадку №2:

Пусть $d_1, d_2, \dots, d_{21}$ — девочки, $b_1, b_2, \dots, b_{21}$ — мальчики. Каждая девочка решила набор задач $D_i \subseteq S$, каждая задача $s \in S$ решена не более чем 6 участниками. Для любых девочки $d_i$ и мальчика $b_j$ существует хотя бы одна задача $s \in D_i \cap B_j$, решённая обоими.

Предположим, что каждая задача решена менее чем тремя девочками или менее чем тремя мальчиками. Тогда каждая задача $s \in S$ решена либо:

1. Менее чем тремя девочками ($|D_s| \leq 2$),
2. Менее чем тремя мальчиками ($|B_s| \leq 2$).

Но это противоречит условию, что для любых девочки $d_i$ и мальчика $b_j$ найдётся задача $s \in D_i \cap B_j$, решённая обоими. Значит, существует задача, решённая не менее чем тремя девочками и не менее чем тремя мальчиками.

Ответ на загадку №3:

Нет, такого многогранника не существует. Обоснуем это:

По формуле Эйлера для выпуклых многогранников:

где $V$ — число вершин, $E$ — число рёбер, $F$ — число граней. Если $F$ нечётно, то каждая грань, являясь многоугольником с нечётным числом сторон, добавляет нечётное количество рёбер. Но сумма рёбер у всех граней вдвое больше числа рёбер $E$:

Так как каждая грань имеет нечётное число сторон, сумма сторон нечётна. Это противоречит тому, что сумма $2E$ всегда чётна. Следовательно, такого многогранника не существует.

Ответ на загадку №4:

Пусть $a_{ij}$ — число в клетке $i$-й строки и $j$-го столбца, причём $a_{ij} \in \{-1, 1\}$. Рассмотрим произведения:

• $P_j = \prod_{i=1}^{25} a_{ij}$ — произведение чисел столбца $j$,
• $Q_i = \prod_{j=1}^{25} a_{ij}$ — произведение чисел строки $i$.

Сумма всех произведений:

Произведение всех чисел в таблице:

Так как все числа в таблице равны $-1$ или $1$, $R = \pm 1$, а $R = \prod_{j=1}^{25} P_j = \prod_{i=1}^{25} Q_i$