При умножении дробей нужно ли умножать целую часть?

Нет, целую часть отдельно умножать не нужно.

Если речь о смешанных числах вида $2\frac{1}{3}$, $4\frac{2}{5}$, то сначала их переводят в неправильные дроби, а уже потом умножают.

Например:

Тогда:

Если же дроби обыкновенные, например $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{4}$, то умножают только числители и знаменатели:

Итак, правило такое: при умножении дробей целую часть отдельно не умножают — смешанные числа сначала переводят в неправильные дроби.