№1. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х²-3у²=12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

№2. Гипербола проходит через точку М(6; 3√5/2), симметрична относительно осей координат и имеет вещественную полуось а=4. Написать уравнения перпендикуляров, опущенных из левого фокуса гиперболы на ее асимптоты.

№1. Гипербола:

\[x^2-3y^2=12\]

Приведём к стандартному виду:

\[\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1\]

Значит, \(a^2=12\), \(b^2=4\), \(c^2=a^2+b^2=16\), поэтому \(c=4\). Правый фокус: \((4;0)\).

Окружность с центром \((4;0)\), проходящая через начало координат, имеет радиус \(4\):

\[(x-4)^2+y^2=16\]

Асимптоты гиперболы:

\[y=\pm \frac{x}{\sqrt3}\]

Подставим \(y^2=\frac{x^2}{3}\) в уравнение окружности:

\[x^2+\frac{x^2}{3}-8x=0\]

\[\frac{4x^2}{3}-8x=0\]

\[x(x-6)=0\]

Получаем \(x=0\) или \(x=6\). Тогда точки пересечения:

\[(0;0),\ (6;2\sqrt3),\ (6;-2\sqrt3)\]

№2. Так как гипербола симметрична относительно осей координат и имеет вещественную полуось \(a=4\), её вид:

\[\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{b^2}=1\]

Она проходит через точку \(M\left(6;\frac{3\sqrt5}{2}\right)\). Подставим координаты:

\[\frac{36}{16}-\frac{\left(\frac{3\sqrt5}{2}\right)^2}{b^2}=1\]

\[\frac94-\frac{45}{4b^2}=1\]

Отсюда \(b^2=9\), значит \(b=3\).

Фокусы: \(c^2=a^2+b^2=16+9=25\), значит \(c=5\). Левый фокус: \((-5;0)\).

Асимптоты:

\[y=\pm \frac34x\]

Перпендикуляры из точки \((-5;0)\) к этим асимптотам имеют уравнения:

\[4x+3y+20=0\]

\[4x-3y+20=0\]

0 0 Пожаловаться