Вычислите предел по правилу Лопиталя: lim (x→0) (x - arctg x) / x³.

Предел:

\[\lim_{x\to0}\frac{x-\operatorname{arctg}x}{x^3}\]

При \(x\to0\) получается неопределённость \(\frac{0}{0}\), поэтому применим правило Лопиталя:

\[\lim_{x\to0}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}\]

Упростим числитель:

\[1-\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}\]

Тогда:

\[\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1}{3(1+x^2)}=\frac13\]

Ответ: \(\frac13\).

0 0 Пожаловаться