Доказать на языке "ε-δ" предел lim(3x - 2) = -2, где x стремится к 0.

Нужно доказать по определению (на языке ε–δ), что

1) Запишем определение предела

По определению,

означает: для любого $\varepsilon>0$ найдётся такое $\delta>0$, что из условия

следует неравенство

В нашей задаче:

• $f(x)=3x-2$,

• $L=-2$.

Значит, надо доказать: для любого $\varepsilon>0$ найдётся $\delta>0$, что из $0<|x|<\delta$ следует

2) Упростим выражение под модулем

Рассмотрим:

Тогда требуемое условие становится:

Используем свойство модуля:

Значит, достаточно добиться:

3) Выбор $\delta$

Теперь очевидный выбор:

4) Проверка (само доказательство)

Пусть дано любое $\varepsilon>0$. Возьмём $\delta=\varepsilon/3$. Тогда, если

то

Умножая на 3, получаем:

то есть

А это ровно означает:

Следовательно, по определению предела,