Функция u = f(x; y) задана неявно уравнением 2u³ + u²y + 2uxy - 1 = 0. Найдите частную производную этой функции по переменной x в точке A(-1; -1).

Дифференцируем уравнение по \( x \), считая \( y \) константой:

\( 6u^2 \frac{\partial u}{\partial x} + 2u y \frac{\partial u}{\partial x} + 2y \left( u + x \frac{\partial u}{\partial x} \right) = 0 \)

Группируем слагаемые с \( \frac{\partial u}{\partial x} \):

\( \frac{\partial u}{\partial x} (6u^2 + 2u y + 2x y) + 2y u = 0 \)

Отсюда \( \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{2y u}{6u^2 + 2u y + 2x y} \).

Найдём \( u \) в точке \( A(-1; -1) \), подставив координаты в исходное уравнение:

\( 2u^3 - u^2 + 2u - 1 = 0 \). Разложим: \( (2u - 1)(u^2 + 1) = 0 \), значит \( u = \frac{1}{2} \).

Подставляем \( x = -1 \), \( y = -1 \), \( u = \frac{1}{2} \) в выражение для производной:

\( \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{2 \cdot (-1) \cdot \frac{1}{2}}{6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) \cdot (-1)} = \frac{1}{\frac{3}{2} - 1 + 2} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} \).

Ответ: \( \frac{2}{5} \) или 0,4.

0 0 Пожаловаться