1. Задана функция у = х² + 4х + 3. Постройте её график и с помощью графика найдите: а) промежутки, в которых функция возрастает; б) промежутки, в которых функция убывает; в) наибольшее значение функции; г) при каких значениях х у < 0. 2. Решите графически уравнение у = х² - 2х - 8. 3. Решите графически систему уравнений: { у = 4/х { у = |х + 1| - 4

Хорошо, давайте разберём все три задачи шаг за шагом, как если бы я решал их на сайте с вопросами и ответами, подробно и наглядно.

1. Функция $y = x^2 + 4x + 3$

Шаг 1: Преобразуем в удобный вид

Эта функция — квадратная, ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный. Преобразуем в канонический вид через квадрат:

Здесь видно, что вершина параболы в точке $(-2, -1)$.

Шаг 2: Определяем промежутки возрастания и убывания

• Функция убывает до вершины ($x < -2$).

• Функция возрастает после вершины ($x > -2$).

Ответ:

• Убывает: $(-∞, -2)$

• Возрастает: $(-2, +∞)$

Шаг 3: Наибольшее и наименьшее значение

• Так как ветви параболы направлены вверх, наибольшего значения нет (функция неограниченно возрастает).

• Наименьшее значение в вершине: $y_{\min} = -1$ при $x = -2$.

Шаг 4: При каких $x$ $y < 0$

Ответ: $y < 0$ при $-3 < x < -1$

2. Решение графически уравнения $y = x^2 - 2x - 8$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Можно переписать в канонический вид:

Вершина: $(1, -9)$, ветви параболы направлены вверх.

Шаг 2: Графическое решение $y = 0$

Приравниваем $y = 0$:

Ответ: Решения уравнения $x = -2$ и $x = 4$

3. Решение графически системы

Система:

Шаг 1: Анализ графиков

• $y = 4/x$ — гипербола, ветви в I и III квадрантах.

• $y = |x+1| - 4$ — V-образная функция с вершиной в точке $(-1, -4)$.

Шаг 2: Находим точки пересечения

Случай 1: $x+1 ≥ 0 \implies |x+1| = x+1$

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4*1*(-4) = 9 + 16 = 25$