Можно ли найти частные производные второго порядка функции z(x, y), заданной неявно уравнением: x + z = e^(z * y), в точке (0, 0, 1)?

Чтобы найти частные производные второго порядка функции $z(x, y)$, заданной неявно уравнением $x + z = e^{zy}$, в точке $(0, 0, 1)$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Исходное уравнение: У нас есть уравнение, которое связывает $x$, $y$ и $z$:

   $$x + z = e^{zy}$$

   Нам нужно найти частные производные функции $z(x, y)$ по $x$ и $y$ в точке $(0, 0, 1)$.

2. Первичные частные производные (первый порядок):

   Чтобы найти производные, будем использовать метод неявного дифференцирования.

   • Частная производная функции $z(x, y)$ по $x$, $\frac{\partial z}{\partial x}$:

     Дифференцируем уравнение по $x$:

     $$\frac{\partial}{\partial x}(x + z) = \frac{\partial}{\partial x}(e^{zy})$$

     Это даёт:

     $$1 + \frac{\partial z}{\partial x} = y e^{zy} \frac{\partial z}{\partial x}$$

     Из этого уравнения выразим $\frac{\partial z}{\partial x}$:

     $$\frac{\partial z}{\partial x} (1 - y e^{zy}) = 1$$

     Таким образом:

     $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1 - y e^{zy}}$$

     Теперь подставим точку $(x, y, z) = (0, 0, 1)$:

     $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1 - 0 \cdot e^{1 \cdot 0}} = 1$$

   • Частная производная функции $z(x, y)$ по $y$, $\frac{\partial z}{\partial y}$:

     Дифференцируем исходное уравнение по $y$:

     $$\frac{\partial}{\partial y}(x + z) = \frac{\partial}{\partial y}(e^{zy})$$

     Это даёт:

     $$\frac{\partial z}{\partial y} = e^{zy} \left( z + y \frac{\partial z}{\partial y} \right)$$

     Из этого уравнения выразим $\frac{\partial z}{\partial y}$:

     $$\frac{\partial z}{\partial y} - y e^{zy} \frac{\partial z}{\partial y} = z e^{zy}$$

     Тогда:

     $$\frac{\partial z}{\partial y} (1 - y e^{zy}) = z e^{zy}$$

     Таким образом:

     $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z e^{zy}}{1 - y e^{zy}}$$

     Подставляем точку $(x, y, z) = (0, 0, 1)$:

     $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1 \cdot e^{1 \cdot 0}}{1 - 0 \cdot e^{1 \cdot 0}} = 1$$