Решить неравенство 1) log7 (x^2+7x-8)<0 2) 4lgx^2-lg^2(-x)=16

1) Решим неравенство \(\log_7(x^2+7x-8) < 0\).

ОДЗ: \(x^2+7x-8 > 0\). Корни: \(x = -8\) и \(x = 1\). Неравенство выполняется при \(x < -8\) или \(x > 1\).

Так как основание логарифма \(7 > 1\), знак неравенства сохраняется: \(x^2+7x-8 < 7^0 = 1\).

\(x^2+7x-9 < 0\). Корни: \(x = \frac{-7 \pm \sqrt{85}}{2}\). Приближённо: \(x_1 \approx -8{,}11\), \(x_2 \approx 1{,}11\). Решение: \(x \in \left(\frac{-7-\sqrt{85}}{2}; \frac{-7+\sqrt{85}}{2}\right)\).

С учётом ОДЗ: \(x \in \left(\frac{-7-\sqrt{85}}{2}; -8\right) \cup \left(1; \frac{-7+\sqrt{85}}{2}\right)\).

2) Решим уравнение \(4\lg x^2 - \lg^2(-x) = 16\).

ОДЗ: \(x^2 > 0 \Rightarrow x \ne 0\); \(-x > 0 \Rightarrow x < 0\). Значит, \(x < 0\).

\(\lg x^2 = 2\lg(-x)\). Подставим: \(4 \cdot 2\lg(-x) - (\lg(-x))^2 = 16\).

Пусть \(t = \lg(-x)\). Тогда \(8t - t^2 = 16 \Rightarrow t^2 - 8t + 16 = 0 \Rightarrow (t-4)^2 = 0 \Rightarrow t = 4\).

\(\lg(-x) = 4 \Rightarrow -x = 10^4 = 10000 \Rightarrow x = -10000\).

Ответ: 1) \(x \in \left(\frac{-7-\sqrt{85}}{2}; -8\right) \cup \left(1; \frac{-7+\sqrt{85}}{2}\right)\); 2) \(x = -10000\).

0 0 Пожаловаться