log7(2x+9)= log7(x²+5x-1)

Для решения уравнения $\log_7(2x + 9) = \log_7(x^2 + 5x - 1)$ воспользуемся тем, что если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то их аргументы также равны. Это свойство логарифмов позволяет записать уравнение в виде:

Теперь преобразуем его в квадратное уравнение. Переносим все выражения на одну сторону:

Упрощаем:

Получили квадратное уравнение:

Решаем это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

Для уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$ коэффициенты: $a = 1$, $b = 3$, $c = -10$. Подставляем в формулу:

Таким образом, два возможных корня:

1. $x = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

2. $x = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь проверим, какие из этих значений являются решениями исходного уравнения, подставив их в аргументы логарифмов. Аргументы логарифмов должны быть положительными, так как логарифм отрицательного числа или нуля не существует.

1. Подставим $x = 2$:

   • Аргумент $\log_7(2x + 9) = \log_7(2(2) + 9) = \log_7(13)$, который положителен.

   • Аргумент $\log_7(x^2 + 5x - 1) = \log_7(2^2 + 5(2) - 1) = \log_7(7)$, который также положителен.

   Следовательно, $x = 2$ — решение.

2. Подставим $x = -5$:

   • Аргумент $\log_7(2x + 9) = \log_7(2(-5) + 9) = \log_7(-10 + 9) = \log_7(-1)$, что невозможно, так как логарифм отрицательного числа не существует.

Таким образом, $x = -5$ не является решением уравнения.

Ответ: $x = 2$.