9. Пусть AM — медиана треугольника ABC, D — середина отрезка AM, E — точка пересечения прямой CD со стороной AB. Оказалось, что BD = BM. Докажите, что ∠BAD = ∠MDC.

Расположим треугольник на координатной плоскости: пусть B(0,0), C(2,0), тогда середина BC — точка M(1,0). Обозначим координаты вершины A(x, y), где y ≠ 0.

Точка D — середина AM, поэтому D((x+1)/2, y/2).

По условию BD = BM = 1. Вычислим BD²:

Отсюда \((x+1)^2 + y^2 = 4\).

Теперь найдём косинусы углов \(\angle BAD\) и \(\angle MDC\) через скалярные произведения векторов.

\(\angle BAD\) — угол между \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{DA}\).

\(\overrightarrow{BA} = (x, y)\), \(\overrightarrow{DA} = \left(\frac{x-1}{2}, \frac{y}{2}\right)\).

Скалярное произведение: \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{DA} = \frac{x(x-1) + y^2}{2}\).

Длины: \(|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{x^2+y^2}\), \(|\overrightarrow{DA}| = \frac{1}{2}\sqrt{(x-1)^2+y^2}\).

Тогда \(\cos \angle BAD = \frac{x(x-1)+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{(x-1)^2+y^2}}\).

\(\angle MDC\) — угол между \(\overrightarrow{DM}\) и \(\overrightarrow{DC}\).

\(\overrightarrow{DM} = \left(\frac{1-x}{2}, -\frac{y}{2}\right)\), \(\overrightarrow{DC} = \left(\frac{3-x}{2}, -\frac{y}{2}\right)\).

Скалярное произведение: \(\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{DC} = \frac{(1-x)(3-x) + y^2}{4}\).

Длины: \(|\overrightarrow{DM}| = \frac{1}{2}\sqrt{(1-x)^2+y^2}\), \(|\overrightarrow{DC}| = \frac{1}{2}\sqrt{(3-x)^2+y^2}\).

\(\cos \angle MDC = \frac{(1-x)(3-x)+y^2}{\sqrt{(1-x)^2+y^2}\sqrt{(3-x)^2+y^2}}\).

Используем условие \((x+1)^2 + y^2 = 4\). Раскроем: \(x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4\), значит \(x^2 + y^2 = 3 - 2x\).

Тогда \((x-1)^2 + y^2 = x^2 -2x +1 + y^2 = (3-2x) -2x +1 = 4 - 4x\).

Аналогично \((1-x)^2 + y^2 = 4 - 4x\).

И \((3-x)^2 + y^2 = 9 -6x + x^2 + y^2 = 9 -6x + (3-2x) = 12 - 8x\).

Числитель для \(\angle BAD\): \(x(x-1)+y^2 = x^2 - x + y^2 = (x^2+y^2) - x = (3-2x) - x = 3 - 3x = 3(1-x)\).

Знаменатель: \(\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{(x-1)^2+y^2} = \sqrt{3-2x}\sqrt{4-4x} = 2\sqrt{3-2x}\sqrt{1-x}\).

Получаем \(\cos \angle BAD = \frac{3(1-x)}{2\sqrt{3-2x}\sqrt{1-x}} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{1-x}{3-2x}}\).

Числитель для \(\angle MDC\): \((1-x)(3-x)+y^2 = 3 -4x + x^2 + y^2 = 3 -4x + (3-2x) = 6 - 6x = 6(1-x)\).

Знаменатель: \(\sqrt{(1-x)^2+y^2}\sqrt{(3-x)^2+y^2} = \sqrt{4-4x}\sqrt{12-8x} = 2\sqrt{1-x} \cdot 2\sqrt{3-2x} = 4\sqrt{1-x}\sqrt{3-2x}\).

\(\cos \angle MDC = \frac{6(1-x)}{4\sqrt{1-x}\sqrt{3-2x}} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{1-x}{3-2x}}\).

Косинусы равны, оба угла острые (так как \(1-x > 0\) и \(3-2x > 0\) при разумном расположении точки \(A\)), следовательно, \(\angle BAD = \angle MDC\).

0 0 Пожаловаться