Найти наибольший возможный объём цилиндра, площадь полной поверхности которого равна 24π.

Пусть радиус цилиндра равен \( r \), а высота — \( h \).

Площадь полной поверхности цилиндра:

\[ S=2\pi r^2+2\pi rh \]

По условию:

\[ 2\pi r^2+2\pi rh=24\pi \]

Разделим на \( 2\pi \):

\[ r^2+rh=12 \]

Отсюда:

\[ h=\frac{12-r^2}{r} \]

Объём цилиндра:

\[ V=\pi r^2h \]

Подставим \( h \):

\[ V=\pi r^2\cdot \frac{12-r^2}{r}=\pi(12r-r^3) \]

Найдём максимум:

\[ V'(r)=\pi(12-3r^2) \]

\[ 12-3r^2=0 \]

\[ r^2=4 \]

\[ r=2 \]

Тогда:

\[ h=\frac{12-4}{2}=4 \]

\[ V=\pi\cdot 2^2\cdot 4=16\pi \]

Ответ: наибольший возможный объём цилиндра равен \( 16\pi \).

0 0 Пожаловаться