1.Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 25пи см2. Найдите площадь поверхности цилиндра. 2.Высота конуса равна 3 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь боковой поверхности конуса

Задача 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 25π см². Найдите площадь поверхности цилиндра.

1. Понимание задачи:

   • Площадь основания цилиндра $S_{\text{осн}} = 25\pi$ см².
   • Осевое сечение цилиндра — квадрат. Это значит, что радиус основания цилиндра равен половине длины ребра квадрата.

2. Шаг 1. Нахождение радиуса основания: Площадь основания цилиндра равна площади круга:

   $$S_{\text{осн}} = \pi r^2$$

   Подставим известное значение площади:

   $$25\pi = \pi r^2$$

   Сократим на $\pi$:

   $$25 = r^2$$

   Таким образом, радиус $r = 5$ см.

3. Шаг 2. Нахождение высоты цилиндра: Осевое сечение цилиндра представляет собой квадрат, а его сторона равна удвоенному радиусу основания. Таким образом, высота цилиндра $h = 2r$.

   $$h = 2 \times 5 = 10 \, \text{см}$$

4. Шаг 3. Нахождение площади поверхности цилиндра: Площадь поверхности цилиндра состоит из двух частей:

   • Площадь боковой поверхности.

   • Площадь двух оснований (верхнего и нижнего).

   • Площадь боковой поверхности цилиндра рассчитывается по формуле:

   $$S_{\text{бок}} = 2\pi rh$$

   Подставим значения $r = 5$ см и $h = 10$ см:

   $$S_{\text{бок}} = 2\pi \times 5 \times 10 = 100\pi \, \text{см}^2$$
   • Площадь двух оснований цилиндра:
   $$S_{\text{основания}} = 2 \times \pi r^2 = 2 \times 25\pi = 50\pi \, \text{см}^2$$

5. Шаг 4. Общая площадь поверхности цилиндра: Общая площадь поверхности цилиндра:

   $$S_{\text{поверхности}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{основания}} = 100\pi + 50\pi = 150\pi \, \text{см}^2$$

Ответ: Площадь поверхности цилиндра равна $150\pi \, \text{см}^2$.

Задача 2. Высота конуса равна 3 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

1. Понимание задачи:

   • Высота конуса $h = 3$ см.
   • Угол при вершине осевого сечения $\alpha = 120^\circ$.
   • Нужно найти площадь боковой поверхности конуса.

2. Шаг 1. Нахождение радиуса основания конуса: В осевом сечении конуса образуется равнобедренный треугольник, в котором:

   • Высота $h$ — это расстояние от вершины до основания конуса.
   • Радиус основания $r$ является половиной основания этого треугольника.
   • Угол при вершине треугольника равен $120^\circ$.

   Рассмотрим этот треугольник. Площадь боковой поверхности конуса связана с радиусом основания и апофемой конуса. Чтобы найти радиус, воспользуемся тем, что угол при вершине треугольника равен $120^\circ$.

   Угол между двумя радиусами основания будет $60^\circ$ (половина угла при вершине). Мы можем применить тригонометрию, используя синус:

   $$\sin(60^\circ) = \frac{r}{l}$$

   где $l$ — апофема конуса, то есть гипотенуза этого треугольника. Мы можем найти $l$ через высоту и угол:

   $$l = \frac{h}{\sin(60^\circ)} = \frac{3}{\sin(60^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \, \text{см}$$

3. Шаг 2. Нахождение радиуса основания: Теперь, зная апофему, можем найти радиус основания $r$:

   $$r = l \times \sin(60^\circ) = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \, \text{см}$$

4. Шаг 3. Нахождение площади боковой поверхности конуса: Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{бок}} = \pi r l$$

   Подставим $r = 3$ см и $l = 2\sqrt{3}$ см:

   $$S_{\text{бок}} = \pi \times 3 \times 2\sqrt{3} = 6\pi\sqrt{3} \, \text{см}^2$$