Найдите значение параметра a, при котором функция F(x) = arctg(ax) является первообразной для функции f(x) = 5/(1+25x²). Ответ обоснуйте.

Если \(F(x)\) является первообразной для \(f(x)\), то должно выполняться равенство:

\[ F'(x)=f(x) \]

Дана функция:

\[ F(x)=\arctg(ax) \]

Найдём её производную:

\[ F'(x)=\frac{a}{1+a^2x^2} \]

По условию она должна быть равна:

\[ \frac{5}{1+25x^2} \]

Сравним:

\[ \frac{a}{1+a^2x^2}=\frac{5}{1+25x^2} \]

Чтобы дроби совпадали при всех \(x\), нужно:

\[ a=5 \]

Тогда:

\[ F'(x)=\frac{5}{1+25x^2} \]

Ответ: \(a=5\).

0 0 Пожаловаться