1. Показать, что функция F(x)=e^2x+x^3-cos x является первообразной для функции f(x)=2e^2x+3x^2+sin x на всей числовой прямой. 2. Для функции f(x)=3x^2+2x-3 найти первообразную, график которой проходит через точку М(1;-2). 3. Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) параболой y=x^2+x-6 и осью Ох; 2) графиками функций y=x^2+1 и y=10.

1. Проверим, что $F(x)=e^{2x}+x^3-\cos x$ — первообразная для $f(x)=2e^{2x}+3x^2+\sin x$.

Дифференцируем $F(x)$ почленно:

Так как все слагаемые дифференцируемы при всех $x\in\mathbb{R}$, равенство верно на всей числовой прямой. Значит, $F$ — первообразная $f$.

2. Для $f(x)=3x^2+2x-3$ общая первообразная:

Требуем, чтобы график проходил через точку $M(1;-2)$, то есть $F(1)=-2$:

Следовательно,

3. Площади фигур.

4. Фигура, ограниченная параболой $y=x^2+x-6$ и осью $Ox$.

Найдём нули: $x^2+x-6=0\Rightarrow (x+3)(x-2)=0\Rightarrow x=-3,\;2$.
Между корнями парабола ниже оси $Ox$, поэтому площадь

Вычислим:

Итак, $S=\dfrac{125}{6}$.

2. Фигура между графиками $y=x^2+1$ и $y=10$.

Точки пересечения: $x^2+1=10\Rightarrow x=\pm 3$