Пончику, Незнайке и Сиропчику подарили по килограммовому батону колбасы. Пончик разделил свой батон на несколько равных частей, и одну часть съел. Незнайка разделил свой батон на несколько равных частей, и одну часть случайно потерял. Сиропчик разделил свой батон на несколько равных частей, и одну часть спрятал в сундук, откуда её украли. После этого в сумме у них осталось два килограмма колбасы. На сколько частей они делили колбасу (укажите хотя бы один вариант), если известно, что а) каждый делил колбасу на одинаковое число частей? б) только двое делили колбасу на одинаковое число частей? в) все трое делили колбасу на разное число частей?

Давайте разберём эту задачу шаг за шагом.

У нас есть три персонажа — Пончик, Незнайка и Сиропчик — и у каждого был по 1 кг колбасы. Каждый делил свой батон на равные части и потерял одну часть (съел, потерял, украли). После этого в сумме осталось 2 кг колбасы, значит потеряна 1 кг в сумме.

Обозначим:

• Пончик разделил батон на $p$ частей → съел одну → осталось $\frac{p-1}{p}$ кг

• Незнайка разделил батон на $n$ частей → потерял одну → осталось $\frac{n-1}{n}$ кг

• Сиропчик разделил батон на $s$ частей → украли одну → осталось $\frac{s-1}{s}$ кг

Итак, уравнение:

Это можно переписать так:

Отсюда:

Теперь нужно найти натуральные числа $p, n, s$, которые удовлетворяют этому условию.

а) Каждый делил колбасу на одинаковое число частей

Пусть $p = n = s = k$. Тогда:

Ответ: 3 части у каждого.

б) Только двое делили колбасу на одинаковое число частей

Пусть два человека делят на $k$ частей, а третий — на $m$ частей:

Мы ищем натуральные числа $k>2$ (чтобы $m$ было положительным):

• $k=3 \implies m = 3/(3-2) = 3$ → все три равны, не подходит

• $k=4 \implies m = 4/(4-2) = 2$ → подходит

• $k=5 \implies m = 5/(5-2) = 5/3$ → не целое

• $k=6 \implies m = 6/4 = 3/2$ → не целое

Итак, вариант: два человека делят на 4 части, третий на 2 части.

в) Все трое делили колбасу на разное число частей

Нам нужны разные натуральные числа $p, n, s$, чтобы:

Простейшие варианты (маленькие числа, чтобы сумма была 1):

• Попробуем $p=2$: $\frac{1}{2} + \frac{1}{n} + \frac{1}{s} = 1 \implies \frac{1}{n} + \frac{1}{s} = \frac{1}{2}$