Сколько существует способов записать число 1000000 как произведение трех целых положительных чисел, если произведения, отличающиеся порядком множителей, считаются одинаковыми? Объясните, как вы получили ответ.

Ответ: 139 способов.

Разложим число:

Сначала посчитаем количество упорядоченных троек положительных целых чисел $(a,b,c)$, для которых

Для простого множителя $2^6$ нужно распределить показатель 6 между тремя числами:

Количество решений в неотрицательных целых числах:

То же самое для простого множителя $5^6$: тоже 28 вариантов.

Значит, упорядоченных троек:

Но нам нужно считать тройки одинаковыми, если они отличаются только порядком множителей. Просто делить на 6 нельзя, потому что бывают случаи вроде $(10,10,10000)$, где два множителя равны, или $(100,100,100)$, где все три равны.

Используем подсчет по симметриям.

Всего перестановок трех множителей — 6.

1. Тождественная перестановка оставляет все 784 тройки.

2. Перестановка двух множителей, например $a$ и $b$, оставляет тройку на месте только если $a=b$.
   Тогда для каждого простого множителя показатель имеет вид:

и

Возможны $x=0,1,2,3$, то есть 4 варианта для степени двойки и 4 варианта для степени пятерки. Всего:

Таких перестановок 3, значит вклад:

3. Циклическая перестановка трех множителей оставляет тройку на месте только если

Тогда

Так как

получается единственная тройка:

Таких циклических перестановок 2, вклад:

Теперь применяем формулу среднего числа неподвижных троек:

Итак, число $1000000$ можно представить в виде произведения трех положительных целых чисел, не различая порядок множителей, 139 способами.