Сумма длин катетов в прямоугольном треугольнике равна 28, медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна 10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Давайте разберём эту задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, и гипотенузой $c$. Дано:

1. $a + b = 28$

2. Медиана из прямого угла $m_c = 10$

Напомню, что медиана из прямого угла к гипотенузе равна половине гипотенузы, то есть:

Теперь мы знаем гипотенузу $c = 20$. По теореме Пифагора:

Также известно, что $a + b = 28$.

Чтобы найти $a$ и $b$, используем формулу:

Теперь у нас есть система:

Эта система соответствует квадратному уравнению:

Решаем квадратное уравнение:

Значит, катеты $a = 12$, $b = 16$ (или наоборот).

Теперь найдём радиус вписанной окружности $r$. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

Подставляем:

Ответ: