В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, равна медиане, проведённой из того же угла. Гипотенуза этого треугольника равна 6. Найдите площадь.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$. По условию $c=6$.

1) Медиана к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

Известное свойство: в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

Значит,

2) Высота к гипотенузе

Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, выражается через катеты:

3) По условию высота равна медиане

Дано $h=m$. Подставим формулы:

Умножим на $c$:

При $c=6$:

4) Площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника:

Тогда

Ответ: $9$.