Подскажите свойства функции y = ctg x.

Ответы на вопрос

Отвечает Смирнов Евгений.

Функция $y=\operatorname{ctg}x$ , или $y=\cot x$ , называется котангенсом. Она определяется как отношение косинуса к синусу:

\operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}

Также котангенс связан с тангенсом:

\operatorname{ctg}x=\frac{1}{\operatorname{tg}x}

при тех значениях $x$ , где обе функции имеют смысл.

1. Область определения

Функция $y=\operatorname{ctg}x$ определена тогда, когда $\sin x \neq 0$ , потому что синус стоит в знаменателе.

\sin x=0 \quad \text{при} \quad x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}

Поэтому область определения:

D(y)=\mathbb{R}\setminus\{\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\}

То есть котангенс не определён в точках:

x=0,\ \pm\pi,\ \pm2\pi,\ \pm3\pi,\ldots

2. Область значений

Котангенс может принимать любые действительные значения:

E(y)=\mathbb{R}

То есть:

y\in(-\infty;+\infty)

3. Периодичность

Функция $y=\operatorname{ctg}x$ является периодической. Её основной период равен:

T=\pi

Это значит, что:

\operatorname{ctg}(x+\pi)=\operatorname{ctg}x

Например:

\operatorname{ctg}\left(x+\pi\right)=\operatorname{ctg}x

График функции повторяется через каждый промежуток длиной $\pi$ .

4. Чётность и нечётность

Функция $y=\operatorname{ctg}x$ является нечётной:

\operatorname{ctg}(-x)=-\operatorname{ctg}x

Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат.

5. Нули функции

Нули функции — это такие значения $x$ , при которых:

\operatorname{ctg}x=0

Так как:

\operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}

то котангенс равен нулю, когда:

\cos x=0

Это происходит при:

x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}

Например:

x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ -\frac{\pi}{2},\ldots

6. Промежутки знакопостоянства

Функция $y=\operatorname{ctg}x$ положительна там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки, и отрицательна там, где их знаки разные.

На одном основном промежутке:

(0;\pi)

имеем:

\operatorname{ctg}x>0 \quad \text{при} \quad x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)

\operatorname{ctg}x<0 \quad \text{при} \quad x\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)

С учётом периода:

\operatorname{ctg}x>0 \quad \text{при} \quad x\in(\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n)

\operatorname{ctg}x<0 \quad \text{при} \quad x\in(\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi+\pi n)

где $n\in\mathbb{Z}$ .

7. Промежутки монотонности

Функция $y=\operatorname{ctg}x$ убывает на каждом промежутке своей области определения:

(\pi n;\pi+\pi n),\quad n\in\mathbb{Z}

Например, на промежутке:

(0;\pi)

котангенс убывает от $+\infty$ до $-\infty$ .

Это можно подтвердить производной:

(\operatorname{ctg}x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}