Упростите выражение: a) sin a * cos a * tg a б) sin a * cos a * ctg a - 1 в) sin² a - tg a * ctg a г) tg a * ctg a + ctg² a (с пояснениями)

a) $\sin a \cdot \cos a \cdot \tan a$

Для упрощения выражения используем тригонометрические идентичности. Мы знаем, что $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$. Подставим это в выражение:

Теперь видим, что $\cos a$ сокращается, и остается:

Ответ: $\sin^2 a$

б) $\sin a \cdot \cos a \cdot \cot a - 1$

Здесь используем, что $\cot a = \frac{\cos a}{\sin a}$. Подставим это в выражение:

Сокращаем $\sin a$, и остается:

Теперь выражение будет:

Используем тригонометрическую идентичность $\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$:

Ответ: $-\sin^2 a$

в) $\sin^2 a - \tan a \cdot \cot a$

Сначала упростим $\tan a \cdot \cot a$. Поскольку $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$ и $\cot a = \frac{\cos a}{\sin a}$, их произведение будет:

Теперь выражение примет вид:

Используем тригонометрическую идентичность $\sin^2 a = 1 - \cos^2 a$:

Ответ: $-\cos^2 a$

г) $\tan a \cdot \cot a + \cot^2 a$

Как уже показали ранее, $\tan a \cdot \cot a = 1$, так что выражение можно записать как:

Используем тригонометрическую идентичность $1 + \cot^2 a = \csc^2 a$, где $\csc a = \frac{1}{\sin a}$:

Ответ: $\csc^2 a$