Вычислите : а) tg0 = б)ctg дробью пи на 4 = в) tg дробью 3пи на 2 = г) ctg (- дробью 5 пи на 3) =

Решение с подробными пояснениями

Основные формулы

Функция не определена, если в знаменателе получается ноль.

а) $\displaystyle \tan 0$

• $\sin 0 = 0,\quad \cos 0 = 1$.

• $\displaystyle \tan 0=\frac{0}{1}=0.$

Ответ: $0$.

б) $\displaystyle \cot\frac{\pi}{4}$

• $\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$

• $\displaystyle \cot\frac{\pi}{4}=\frac{\cos(\pi/4)}{\sin(\pi/4)}=\frac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=1.$

Ответ: $1$.

в) $\displaystyle \tan\frac{3\pi}{2}$

• $\displaystyle \frac{3\pi}{2}=270^{\circ}$.

• $\sin\frac{3\pi}{2}=-1,\quad \cos\frac{3\pi}{2}=0$.
  Поскольку в знаменателе ноль, значение не определено.

Ответ: не существует (тангенс не определён).

г) $\displaystyle \cot\!\bigl(-\frac{5\pi}{3}\bigr)$

1. Способ через приведение угла.
   $-\dfrac{5\pi}{3}+2\pi=\dfrac{\pi}{3}$, а период у котангенса $π$.
   Значит $\cot\!\bigl(-\frac{5\pi}{3}\bigr)=\cot\frac{\pi}{3}$.

2. Вычисление:
   $\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos\frac{\pi}{3}=\frac12.$

   $$\cot\frac{\pi}{3}=\frac{\cos(\pi/3)}{\sin(\pi/3)}= \frac{\tfrac12}{\tfrac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Ответ: $\dfrac{\sqrt3}{3}$.

Итоговые значения