Сколько шестизначных чисел можно составить, используя в записи ровно: а) 3 различные цифры; б) 4 различные цифры?

Рассмотрим шестизначные числа. В записи числа первая цифра не может быть нулём.

а) Ровно 3 различные цифры

Разобьём случаи на два типа: среди выбранных цифр нет нуля и среди выбранных цифр есть ноль.

1. Нуля нет

Выбираем 3 цифры из 9 ненулевых:

Теперь нужно составить шестизначную запись из этих 3 цифр так, чтобы каждая из них встретилась хотя бы один раз.

Всего записей из 3 цифр длины 6:

Вычтем записи, где какая-то цифра не используется:

Но записи, где осталась только одна цифра, были вычтены лишний раз, поэтому прибавляем:

Получаем:

Значит, для случая без нуля:

2. Ноль есть

Выбираем ещё 2 ненулевые цифры из 9:

Для фиксированного набора из цифр $0, a, b$ всего шестизначных записей, где используются все 3 цифры:

Но среди них есть записи, начинающиеся с нуля. Их надо вычесть.

Если первая цифра — 0, то в оставшихся 5 позициях должны встретиться обе ненулевые цифры $a$ и $b$, а ноль может встречаться или не встречаться.

Количество таких записей:

Значит, допустимых записей для одного набора цифр:

А всего:

Итого:

Ответ для пункта а):

б) Ровно 4 различные цифры

Снова отдельно рассмотрим случаи без нуля и с нулём.

1. Нуля нет

Выбираем 4 цифры из 9 ненулевых:

Для фиксированного набора из 4 цифр нужно составить шестизначную запись так, чтобы каждая цифра встретилась хотя бы один раз.

По формуле включений-исключений:

Тогда:

2. Ноль есть

Выбираем ещё 3 ненулевые цифры из 9:

Для фиксированного набора из цифр $0, a, b, c$ всего записей длины 6, где используются все 4 цифры:

Вычтем записи, начинающиеся с нуля.

Если первая цифра — 0, то в оставшихся 5 позициях должны встретиться все три ненулевые цифры $a, b, c$, а ноль может встречаться или не встречаться.

Количество таких записей:

Значит, допустимых записей для одного набора цифр:

Всего:

Итого:

Ответ для пункта б):