Футболист на тренировке ударом ноги направил мяч вверх. Зависимость расстояния h (в метрах) мяча от поверхности земли выражается формулой h = -t² + 8t + 4, где t - время полета (в секундах). Определите: a) какой наибольшей высоты достигнет мяч? б) Сколько секунд мяч будет на высоте не менее 11 м?

Дано:

Высота полёта мяча определяется формулой:

где:

• $h$ — высота мяча над землёй (м);

• $t$ — время полёта (с).

Найти:

а) Наибольшую высоту, которой достигнет мяч.

б) Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 11 м.

а) Найдём наибольшую высоту мяча

Функция $h=-t^2+8t+4$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $t^2$ отрицательный.

Следовательно, наибольшее значение функции достигается в вершине параболы.

Время достижения максимальной высоты найдём по формуле:

Здесь $a=-1$, $b=8$.

Подставим значения:

Теперь найдём высоту мяча через 4 секунды:

Ответ на пункт а): наибольшая высота мяча составляет 20 метров.

б) Найдём, сколько секунд мяч находился на высоте не менее 11 м

По условию высота мяча должна быть больше или равна 11 м.

Составим неравенство:

Перенесём все слагаемые в левую часть:

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства:

Найдём корни квадратного уравнения:

Вычислим дискриминант:

Найдём корни:

Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство $t^2-8t+7\leq0$ выполняется между корнями, включая сами корни:

Таким образом, мяч находился на высоте не менее 11 метров с первой по седьмую секунду полёта.

Найдём продолжительность этого промежутка:

Ответ на пункт б): мяч находился на высоте не менее 11 метров в течение 6 секунд.

Итоговый ответ:

а) 20 м — максимальная высота подъёма мяча.

б) 6 с — время, в течение которого мяч находился на высоте не менее 11 м.