В каком случае квадраты неравных между собой чисел равны?

Квадраты двух неравных между собой чисел равны в том случае, если эти числа противоположны друг другу, то есть имеют одинаковые абсолютные значения (модули), но разные знаки.

Например:

• $3^2 = 9$ и $(-3)^2 = 9$;

• $5^2 = 25$ и $(-5)^2 = 25$;

• $10^2 = 100$ и $(-10)^2 = 100$.

Во всех этих примерах числа не равны между собой, однако их квадраты одинаковы.

Математическое объяснение:

Пусть имеются два числа $a$ и $b$, причём $a \neq b$.

По условию их квадраты равны:

Перенесём всё в одну сторону:

Применим формулу разности квадратов:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно:

Первый случай означает, что $a=b$, но по условию числа не равны. Поэтому остаётся второй случай:

Отсюда:

Вывод: квадраты двух различных чисел равны тогда и только тогда, когда эти числа противоположны по знаку и равны по модулю.

Например, числа $-7$ и $7$ различны, но их квадраты равны:

Это объясняется тем, что при возведении отрицательного числа в квадрат результат всегда неотрицателен, поскольку произведение двух отрицательных чисел положительно.