Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 24, а её периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.

Дано:

• Основания равнобедренной трапеции: $a=12$, $b=24$.

• Периметр трапеции: $P=56$.

Найти: площадь трапеции $S$.

Решение

1. Найдём боковые стороны трапеции.

Так как трапеция равнобедренная, её боковые стороны равны.

Обозначим длину каждой боковой стороны через $c$.

Периметр трапеции равен сумме всех её сторон:

Подставим известные значения:

Таким образом, каждая боковая сторона равна 10.

2. Найдём высоту трапеции.

Опустим из концов меньшего основания перпендикуляры на большее основание.

В результате образуются два равных прямоугольных треугольника.

Катет каждого из них, лежащий на большем основании, равен половине разности оснований:

Теперь рассмотрим один из полученных прямоугольных треугольников.

Его гипотенуза равна 10 (боковая сторона трапеции), один катет равен 6, а второй катет является высотой трапеции $h$.

По теореме Пифагора:

Следовательно, высота трапеции равна 8.

3. Вычислим площадь трапеции.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:

Подставим найденные значения:

Ответ: $\boxed{144}$ квадратных единиц.