В некоторый момент времени Аня измерила угол между часовой и минутной стрелками своих часов. Ровно через один час она снова измерила угол между стрелками. Угол оказался таким же. Каким мог быть этот угол?

Ответ: угол мог быть равен 15° или 165°.

Решение:

За один час минутная стрелка совершает полный оборот, то есть поворачивается на 360°, и возвращается в исходное положение.

Часовая стрелка за это же время поворачивается на:

Таким образом, через час минутная стрелка будет находиться в том же положении, а часовая повернётся на 30°.

По условию угол между стрелками при этом не изменился.

Это возможно в двух случаях.

Случай 1. Угол равен 15°.

Представим два положения часовой стрелки, между которыми угол 30°. Чтобы минутная стрелка образовывала с часовой одинаковый угол в обоих положениях, она может находиться ровно посередине между ними.

Тогда искомый угол:

Случай 2. Угол равен 165°.

Минутная стрелка может находиться и на противоположном луче к биссектрисе угла 30° между двумя положениями часовой стрелки.

В этом случае угол между минутной стрелкой и каждым из двух положений часовой стрелки будет равен:

Других вариантов нет, поскольку луч, образующий равные углы с двумя заданными лучами, должен лежать на одной из двух биссектрис образованных ими углов.

Итак, возможны два ответа: