б) Петя измерил угол между часовой и минутной стрелками. Через полчаса он снова его измерил, и оказалось, что угол не изменился. Чему мог быть равен этот угол?​

Для того чтобы решить задачу, рассмотрим движение часовой и минутной стрелок.

1. Основные сведения:

   • Минутная стрелка за полный оборот (360 градусов) проходит за 60 минут. Это означает, что она движется со скоростью $6^\circ$ в минуту.
   • Часовая стрелка за полный оборот (360 градусов) проходит за 12 часов, то есть за 720 минут. Это соответствует скорости $0{,}5^\circ$ в минуту.

2. Изменение угла между стрелками: Угол между стрелками зависит от текущего времени. Если часы показывают время $h$ часов и $m$ минут, угол между ними можно найти по формуле:

   $$\theta = \left| 30h - 5{,}5m \right|,$$

   где $30h$ — угол, пройденный часовой стрелкой, а $5{,}5m$ — угол, пройденный минутной стрелкой.

3. Условие задачи: Петя заметил, что угол между стрелками через полчаса остался неизменным. Это значит, что при переходе времени от $h$ часов и $m$ минут к $h'$ часам и $m' = m + 30$ минут угол $\theta$ остался таким же.

4. Рассмотрение случаев: За полчаса:

   • Минутная стрелка переместится на $6 \times 30 = 180^\circ$.
   • Часовая стрелка переместится на $0{,}5 \times 30 = 15^\circ$.

   Следовательно, изменение угла между стрелками будет:

   $$\Delta\theta = |180 - 15| = 165^\circ.$$

   Это означает, что исходный угол $\theta$ должен быть таким, чтобы через полчаса угол $\theta$ либо увеличился, либо уменьшился на $165^\circ$, но в результате остался равным самому себе.

5. Решение уравнения: Угол $\theta$ может быть равен либо $165^\circ$, либо $360^\circ - 165^\circ = 195^\circ$. Однако угол $195^\circ$ больше половины окружности, что делает его на практике равным $165^\circ$ в обратную сторону, так как угол измеряется по кратчайшему пути между стрелками.

6. Ответ: Угол между часовой и минутной стрелками, который не изменился через полчаса, равен $165^\circ$.