Докажите, что 10^25 + 10^17 - 182 делится на 18.

Докажем, что число $10^{25}+10^{17}-182$ делится на 18.

Для этого достаточно доказать, что данное число делится одновременно на 2 и на 9, поскольку $18=2\cdot9$, а числа 2 и 9 взаимно простые.

1. Докажем делимость на 2.

Числа $10^{25}$ и $10^{17}$ оканчиваются на 0, поэтому оба делятся на 2. Число 182 также чётное.

Следовательно, выражение

делится на 2.

2. Докажем делимость на 9.

Известно, что

Поэтому для любого натурального $n$:

В частности,

Тогда

Получаем:

Так как

то число $-180$ делится на 9 без остатка.

Следовательно,

3. Вывод.

Мы доказали, что число $10^{25}+10^{17}-182$ делится и на 2, и на 9.

Поскольку числа 2 и 9 взаимно простые, данное число делится на их произведение:

Таким образом,

Что и требовалось доказать.