Докажите, что: а) ad+bc+ac+bd делится на a+b; б) если ad+bc делится на a+b, то и ac+bd делится на а+b; в) если ad+bc не делится на a+b, то и ac+bd не делится на a+b;

Докажем все три части задачи по очереди.

а) ad + bc + ac + bd делится на a + b.

Для начала упростим выражение, используя факторизацию:

Это выражение уже видно как произведение двух множителей: $(a + b)$ и $(d + c)$. Из теоремы о делимости произведений следует, что если одно из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. В данном случае, очевидно, что $(a + b)$ делится на себя, а значит, выражение $ad + bc + ac + bd$ делится на $a + b$.

б) Если ad + bc делится на a + b, то и ac + bd делится на a + b.

Предположим, что выражение $ad + bc$ делится на $a + b$. То есть, существует некоторое целое число $k$, такое что:

Теперь рассмотрим выражение $ac + bd$. Мы можем попытаться выразить его через $ad + bc$, используя тот факт, что делимость $ad + bc$ на $a + b$ дает нам информацию о связи между этими двумя выражениями. Рассмотрим сумму:

Так как $ad + bc$ делится на $a + b$, то и сумма $(ad + bc) + (ac + bd)$ будет делиться на $a + b$. Следовательно, $ac + bd$ также делится на $a + b$.

в) Если ad + bc не делится на a + b, то и ac + bd не делится на a + b.

Теперь предположим, что выражение $ad + bc$ не делится на $a + b$. В таком случае, рассмотрим выражение $ac + bd$. Мы уже знаем, что:

Если $ad + bc$ не делится на $a + b$, то это означает, что $ac + bd$ не может компенсировать эту неделимость, так как сумма $(ad + bc) + (ac + bd)$ делится на $a + b$, и для этого $ac + bd$ должно быть таким, чтобы эта делимость сохранялась. Следовательно, если $ad + bc$ не делится на $a + b$, то и $ac + bd$ не делится на $a + b$.

Таким образом, все три части задачи доказаны.