Для асфальтирования участка длиной 99 м используется два катка. Первый каток был установлен в одном конце участка, другой - в противоположном. Работать они начали одновременно. За первую минуту второй каток прошел 1,5 м, а за каждую последующую - на 0,5 м больше, чем за предыдущую. Первый ка в каждую минуту проходил 5 м. Через сколько минут оба катка встретились?

Для решения этой задачи, нам нужно узнать, через сколько минут суммарное расстояние, пройденное двумя катками, составит 99 метров. Поскольку катки движутся навстречу друг другу, их пройденные расстояния складываются.

Первый каток проходит постоянное расстояние в 5 метров в минуту.

Второй каток проходит 1,5 метра в первую минуту, 2 метра во вторую минуту (1,5 + 0,5), 2,5 метра в третью минуту (2 + 0,5) и так далее.

Пусть $n$ - количество минут, которое нужно найти. Тогда общее расстояние, пройденное первым катком за $n$ минут, будет $5n$.

Для второго катка, расстояние за каждую минуту увеличивается на 0,5 метра. Это означает, что пройденное им расстояние образует арифметическую прогрессию с первым членом 1,5 и разностью 0,5. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии определяется как $S = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1)d)$, где $a_1$ - первый член, $d$ - разность и $n$ - количество членов.

В нашем случае, $a_1 = 1,5$ и $d = 0,5$. Подставляя, получаем сумму пройденного вторым катком расстояния за $n$ минут: $S = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 1,5 + (n - 1) \cdot 0,5)$.

Теперь мы можем приравнять сумму расстояний, пройденных обоими катками, к 99 метрам:

$5n + \frac{n}{2} \cdot (3 + 0,5n - 0,5) = 99$

Решим это уравнение, чтобы найти $n$.

Решая уравнение, мы получаем два результата: -36 и 11. Отрицательное значение нам не подходит, так как время не может быть отрицательным. Следовательно, правильный ответ - через 11 минут оба катка встретятся. ​​