СИРИУС КОМБИНАТОРИКА Даю 20 баллов, помогите!!

Вода поступает в бассейн по пяти трубам. Через первую трубу бассейн заполняется за 30 минут. Через вторую, третью и четвёртую, работающие одновременно, — за 12 минут. Через вторую, третью и пятую — за 20 минут. Через четвёртую и пятую — тоже за 20 минут. За какое время наполнится бассейн при совместной работе всех пяти труб?

ОТВЕТ 11 или 2/11 неправильный!

Чтобы решить задачу, давайте обозначим:

• $x_1$ — скорость заполнения бассейна первой трубой (доля бассейна за 1 минуту).
• $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$ — скорости заполнения бассейна второй, третьей, четвёртой и пятой трубами соответственно.

Из условий задачи:

1. Первая труба заполняет бассейн за 30 минут, значит, её скорость $x_1 = \frac{1}{30}$ бассейна за 1 минуту.
2. Вторая, третья и четвёртая трубы, работая одновременно, заполняют бассейн за 12 минут. Их совместная скорость равна $x_2 + x_3 + x_4 = \frac{1}{12}$ бассейна за минуту.
3. Вторая, третья и пятая трубы заполняют бассейн за 20 минут. Их совместная скорость равна $x_2 + x_3 + x_5 = \frac{1}{20}$ бассейна за минуту.
4. Четвёртая и пятая трубы заполняют бассейн за 20 минут. Их совместная скорость $x_4 + x_5 = \frac{1}{20}$ бассейна за минуту.

Система уравнений:

Мы получили следующие уравнения:

1. $x_1 = \frac{1}{30}$
2. $x_2 + x_3 + x_4 = \frac{1}{12}$
3. $x_2 + x_3 + x_5 = \frac{1}{20}$
4. $x_4 + x_5 = \frac{1}{20}$

Теперь нужно решить систему этих уравнений.

Шаг 1: Найдём $x_4$ и $x_5$

Из четвёртого уравнения:
$x_4 + x_5 = \frac{1}{20}$.

Предположим, что $x_4 = \frac{1}{20} - x_5$.

Шаг 2: Подставим $x_4 = \frac{1}{20} - x_5$ во второе уравнение:

$x_2 + x_3 + \left(\frac{1}{20} - x_5\right) = \frac{1}{12}$,
что упрощается до:
$x_2 + x_3 - x_5 = \frac{1}{12} - \frac{1}{20}$.

Приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5}{60} - \frac{3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$.

Получаем:
$x_2 + x_3 - x_5 = \frac{1}{30}$