Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 68 кругов по кольцевой трассе протяженностью

Ответы на вопрос

Отвечает Криворученко Дарья.

Для решения этой задачи давайте разобьем её на несколько этапов и рассмотрим каждую часть по отдельности.

Шаг 1: Анализ данных и условий задачи

Трасса имеет длину 6 км.
Общее количество кругов — 68.
Первый гонщик опередил второго на финише на 15 минут.
Первый гонщик обогнал второго на круг через 60 минут после начала гонки.

Шаг 2: Введение обозначений

Пусть:

$V_1$ — средняя скорость первого гонщика (в км/ч).
$V_2$ — средняя скорость второго гонщика (в км/ч).
$T_1$ — время, затраченное первым гонщиком на прохождение всей дистанции (в часах).
$T_2$ — время, затраченное вторым гонщиком на прохождение всей дистанции (в часах).

Шаг 3: Определение времени на всю гонку

Так как трасса имеет длину 6 км, а гонка состоит из 68 кругов, то общая длина дистанции составляет:

S = 6 \times 68 = 408 \, \text{км}.

Пусть первый гонщик завершил гонку за $T_1$ часов. Тогда второй гонщик финишировал через 15 минут после первого, то есть за $T_2 = T_1 + 0.25$ часов (15 минут = 0.25 часа).

Шаг 4: Использование информации о первом обгоне

По условию задачи первый обгон произошел через 60 минут (или 1 час). Это означает, что за 1 час первый гонщик прошел на 1 круг больше, чем второй.

Длина одного круга составляет 6 км, значит, за 1 час первый гонщик преодолел на 6 км больше второго. Следовательно, разница в расстоянии между первым и вторым гонщиком за 1 час составляет:

V_1 - V_2 = \frac{6 \, \text{км}}{1 \, \text{час}} = 6 \, \text{км/ч}.

Шаг 5: Выражение времени через скорость

Известно, что средняя скорость — это отношение расстояния к времени, то есть:

V_1 = \frac{S}{T_1} = \frac{408}{T_1},

V_2 = \frac{S}{T_2} = \frac{408}{T_1 + 0.25}.

Шаг 6: Подставляем разность скоростей

Ранее мы выяснили, что разница в скоростях составляет 6 км/ч, то есть:

V_1 - V_2 = 6.

Подставим выражения для скоростей:

\frac{408}{T_1} - \frac{408}{T_1 + 0.25} = 6.

Шаг 7: Решение уравнения

Упростим уравнение:

408 \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_1 + 0.25}\right) = 6.

Найдем общий знаменатель:

408 \cdot \frac{(T_1 + 0.25) - T_1}{T_1(T_1 + 0.25)} = 6,

408 \cdot \frac{0.25}{T_1(T_1 + 0.25)} = 6.

Умножим обе части на $T_1(T_1 + 0.25)$ :

408 \cdot 0.25 = 6 T_1(T_1 + 0.25),

102 = 6 T_1^2 + 1.5 T_1.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

6 T_1^2 + 1.5 T_1 - 102 = 0.

Шаг 8: Решение квадратного уравнения

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

T_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},

где $a = 6$ , $b = 1.5$ , $c = -102$ :

T_1 = \frac{-1.5 \pm \sqrt{1.5^2 + 4 \cdot 6 \cdot 102}}{2 \cdot 6}.

Последние заданные вопросы в категории Математика