На эллипсе x^2/25 + y^2/9 = 1 найти точку, разность фокальных радиусов-векторов которой равна 6,4.
^ - степень
Надо найти точку M(x,y).
В решении эксцентриситет не нужен.
Составить систему уравнений.

Дан эллипс:

\[ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 \]

Здесь \(a^2=25\), \(b^2=9\), значит \(a=5\), \(b=3\). Фокусы найдём без эксцентриситета:

\[ c^2=a^2-b^2=25-9=16, \quad c=4 \]

Фокусы: \(F_1(-4;0)\) и \(F_2(4;0)\).

Пусть \(M(x;y)\). Тогда фокальные радиусы:

\[ r_1=\sqrt{(x+4)^2+y^2}, \quad r_2=\sqrt{(x-4)^2+y^2} \]

Для точки эллипса сумма фокальных радиусов равна \(2a\), то есть \(10\). По условию разность равна \(6{,}4\). Составим систему:

\[ \begin{cases} r_1+r_2=10, \\ r_1-r_2=6{,}4. \end{cases} \]

Складываем уравнения:

\[ 2r_1=16{,}4, \quad r_1=8{,}2 \]

Тогда:

\[ r_2=10-8{,}2=1{,}8 \]

Теперь составим систему через координаты:

\[ \begin{cases} (x+4)^2+y^2=8{,}2^2, \\ (x-4)^2+y^2=1{,}8^2. \end{cases} \]

То есть:

\[ \begin{cases} (x+4)^2+y^2=67{,}24, \\ (x-4)^2+y^2=3{,}24. \end{cases} \]

Вычтем второе уравнение из первого:

\[ (x+4)^2-(x-4)^2=64 \]

\[ 16x=64, \quad x=4 \]

Подставим во второе уравнение:

\[ (4-4)^2+y^2=3{,}24 \]

\[ y^2=3{,}24, \quad y=\pm 1{,}8 \]

Ответ: \(M_1(4;1{,}8)\), \(M_2(4;-1{,}8)\). Если разность взять в обратном порядке, получатся симметричные точки \((-4;1{,}8)\) и \((-4;-1{,}8)\).

0 0 Пожаловаться