В задаче даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется средствами векторной алгебры найти: 1) угол между ребрами AB и AD; 2) площадь грани ABC; 3) объем пирамиды; 4) длину высоты, проведенной из вершины D. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C.
A(1; 8; 2), B(5; 2; 6), C(5; 7; 4), D(4; 10; 9).

Найдём векторы:

\(\overrightarrow{AB}=(4;-6;4)\), \(\overrightarrow{AC}=(4;-1;2)\), \(\overrightarrow{AD}=(3;2;7)\).

1. Угол между рёбрами \(AB\) и \(AD\)

\[\cos \varphi=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AD}|}=\frac{28}{\sqrt{68}\cdot\sqrt{62}}=\frac{28}{\sqrt{4216}}\]

\[\varphi\approx64{,}5^\circ\]

2. Площадь грани \(ABC\)

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-8;8;20)\]

\[S_{ABC}=\frac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\frac12\sqrt{528}=2\sqrt{33}\]

3. Объём пирамиды

\[V=\frac16\left|\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})\right|=\frac{132}{6}=22\]

4. Длина высоты из вершины \(D\)

Уравнение плоскости \(ABC\):

\[2x-2y-5z+24=0\]

Тогда расстояние от точки \(D(4;10;9)\) до этой плоскости равно:

\[h=\frac{|2\cdot4-2\cdot10-5\cdot9+24|}{\sqrt{2\cdot2+(-2)\cdot(-2)+(-5)\cdot(-5)}}=\frac{33}{\sqrt{33}}=\sqrt{33}\]

Ответ: \(\varphi\approx64{,}5^\circ\), \(S_{ABC}=2\sqrt{33}\), \(V=22\), \(h=\sqrt{33}\); плоскость \(ABC\): \(2x-2y-5z+24=0\).

0 0 Пожаловаться