Построить график функции y = 1/x + 4x^2

Найти: 1) ооф; 2) озф; 3) чёт/нечет; 4) исследование ф-ции на возрастание/убывание точки экстремума; 5) исследование ф-ции по 2-ой производной.
Помогите кто может, пожалуйста :с

Функция: \(y=\frac{1}{x}+4x^2\).

1) ООФ: \(x\ne0\), то есть \(D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).

ОЗФ: \(E(y)=\mathbb{R}\), так как на промежутке \((-\infty;0)\) функция принимает все действительные значения.

2) Чётность: \(f(-x)=-\frac{1}{x}+4x^2\). Это не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\), поэтому функция ни чётная, ни нечётная.

3) Первая производная:

\[f'(x)=-\frac{1}{x^2}+8x=\frac{8x^3-1}{x^2}.\]

\(f'(x)=0\) при \(x=\frac12\).

• убывает на \((-\infty;0)\) и \((0;\frac12)\);
• возрастает на \((\frac12;+\infty)\).

В точке \(x=\frac12\) находится минимум:

\[f\left(\frac12\right)=\frac{1}{1/2}+4\cdot\left(\frac12\right)^2=3.\]

Точка минимума: \(\left(\frac12;3\right)\). Максимума нет.

4) Вторая производная:

\[f''(x)=\frac{2}{x^3}+8.\]

\(f''(x)=0\) при \(x=-\sqrt[3]{\frac14}\). На \((-\infty;-\sqrt[3]{\frac14})\) и \((0;+\infty)\) график выпуклый вверх, а на \((-\sqrt[3]{\frac14};0)\) — выпуклый вниз. Точка перегиба:

\[\left(-\sqrt[3]{\frac14};0\right).\]

При построении учтите вертикальную асимптоту \(x=0\).

0 0 Пожаловаться