Построить график функции y=x2+4x-5. Определить возрастание и убывание, нули функции координаты и вершины.

Для построения графика функции $y = x^2 + 4x - 5$ и анализа её свойств, давайте рассмотрим несколько важных аспектов: нули функции, вершину параболы, интервалы возрастания и убывания.

1. Построение графика функции

Функция $y = x^2 + 4x - 5$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Общий вид такой функции:

где $a = 1$, $b = 4$, $c = -5$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение нулей функции

Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$. Чтобы найти эти значения, решим уравнение:

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

Корни уравнения находятся по формуле:

Подставляем значения:

Получаем два корня:

Значит, нули функции: $x = 1$ и $x = -5$.

3. Координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы можно найти по формулам:

Подставляем значения:

Теперь найдём $y$ при $x = -2$:

Значит, координаты вершины параболы: $(-2, -9)$.

4. Интервалы возрастания и убывания

Для анализа возрастания и убывания квадратичной функции, можно использовать производную или рассмотреть свойства параболы. Парабола с ветвями, направленными вверх, сначала убывает, затем возрастает, проходя через вершину.

• На интервале $(-\infty, -2)$ функция убывает.
• На интервале $(-2, +\infty)$ функция возрастает.

5. Построение графика

Теперь, когда мы нашли нули функции, вершину и интервалы возрастания/убывания, можно построить график. График параболы проходит через точки $x = -5$ и $x = 1$ (нули функции), а также имеет вершину в точке $(-2, -9)$. Ветви параболы направлены вверх, что соответствует положительному коэффициенту при $x^2$.

Таким образом, график функции выглядит как парабола, которая убывает на интервале до $x = -2$ и возрастает после $x = -2$.

Итог

• Нули функции: $x = 1$ и $x = -5$.
• Вершина параболы: $(-2, -9)$.
• Интервалы убывания: $(-\infty, -2)$.
• Интервалы возрастания: $(-2, +\infty)$.

Эти данные помогут построить точный график функции $y = x^2 + 4x - 5$.