Исследовать функцию на экстремум:
y=x^4-5x^2+4

Общая схема построения графика функции:
1)найти D(y)
2)четная/нечетная/периодическая функция
3)точки пересечения графика с осями координат(если это не вызывает затруднений)
4)найти асимптоты
5)найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы
6)найти промежутки выпуклости графика функции точки перегиба
7)построить график

Пожалуйста, очень прошу помочь, нужно срочно сделать к завтрашнему дню. Заранее спасибо.

Исследуем функцию:

\[ y=x^4-5x^2+4 \]

1. Область определения

Это многочлен, поэтому функция определена при всех действительных \( x \):

\[ D(y)=\mathbb{R} \]

2. Четность, нечетность, периодичность

Проверим:

\[ y(-x)=(-x)^4-5(-x)^2+4=x^4-5x^2+4=y(x) \]

Значит, функция четная. Ее график симметричен относительно оси \( Oy \). Периодической она не является.

3. Точки пересечения с осями координат

С осью \( Oy \): подставим \( x=0 \):

\[ y(0)=0^4-5\cdot0^2+4=4 \]

Точка: \( (0;4) \).

С осью \( Ox \): решаем уравнение:

\[ x^4-5x^2+4=0 \]

Пусть \( t=x^2 \). Тогда:

\[ t^2-5t+4=0 \]

\[ (t-1)(t-4)=0 \]

\[ t=1 \quad \text{или} \quad t=4 \]

Значит:

\[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1 \]

\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \]

Точки пересечения с \( Ox \): \( (-2;0) \), \( (-1;0) \), \( (1;0) \), \( (2;0) \).

4. Асимптоты

У многочлена асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы

Найдем производную:

\[ y'=4x^3-10x=2x(2x^2-5) \]

Критические точки находятся из условия \( y'=0 \):

\[ 2x(2x^2-5)=0 \]

\[ x=0 \quad \text{или} \quad 2x^2-5=0 \]

\[ x=\pm\sqrt{\frac{5}{2}} \]

Исследуем знак производной:

Значит, при \( x=-\sqrt{\frac{5}{2}} \) и \( x=\sqrt{\frac{5}{2}} \) — минимумы, а при \( x=0 \) — максимум.

Найдем значения функции в точках экстремума:

\[ y(0)=4 \]

Если \( x^2=\frac{5}{2} \), то:

\[ y=x^4-5x^2+4=\frac{25}{4}-5\cdot\frac{5}{2}+4 \]

\[ y=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+4=\frac{25}{4}-\frac{50}{4}+\frac{16}{4}=-\frac{9}{4} \]

Точки минимума:

\[ \left(-\sqrt{\frac{5}{2}};-\frac{9}{4}\right), \quad \left(\sqrt{\frac{5}{2}};-\frac{9}{4}\right) \]

Точка максимума:

\[ (0;4) \]

6. Выпуклость и точки перегиба

Найдем вторую производную:

\[ y''=12x^2-10 \]

Точки перегиба ищем из условия \( y''=0 \):

\[ 12x^2-10=0 \]

\[ x^2=\frac{5}{6} \]

\[ x=\pm\sqrt{\frac{5}{6}} \]

Если \( y''>0 \), график выпукл вниз? В школьной записи чаще говорят: функция выпукла вверх. Это при \( |x|>\sqrt{\frac{5}{6}} \).

Если \( y''<0 \), график выпукл вниз. Это при:

\[ -\sqrt{\frac{5}{6}}<x<\sqrt{\frac{5}{6}} \]

Найдем ординату точек перегиба. Если \( x^2=\frac{5}{6} \), то:

\[ y=\left(\frac{5}{6}\right)^2-5\cdot\frac{5}{6}+4 \]

\[ y=\frac{25}{36}-\frac{25}{6}+4=\frac{25}{36}-\frac{150}{36}+\frac{144}{36}=\frac{19}{36} \]

Точки перегиба:

\[ \left(-\sqrt{\frac{5}{6}};\frac{19}{36}\right), \quad \left(\sqrt{\frac{5}{6}};\frac{19}{36}\right) \]

7. Как построить график

Отметь точки пересечения с осями: \( (-2;0) \), \( (-1;0) \), \( (0;4) \), \( (1;0) \), \( (2;0) \). Затем отметь минимумы \( \left(\pm\sqrt{\frac{5}{2}};-\frac{9}{4}\right) \). График симметричен относительно оси \( Oy \), по краям он уходит вверх, потому что старшая степень \( x^4 \) с положительным коэффициентом.

0 0 Пожаловаться