Диагональ делит четырёхугольник с периметром 31 см на два треугольника с периметрами 21 см и 30 см.Определите длину этой диагонали.

Задача состоит в том, чтобы найти длину диагонали четырехугольника, которая делит его на два треугольника с периметрами 21 см и 30 см, если периметр четырехугольника составляет 31 см.

Для начала обозначим четырехугольник как ABCD, а диагональ пусть будет BD. Пусть стороны четырехугольника имеют следующие обозначения:

• AB, BC, CD, DA — это стороны четырехугольника.
• Диагональ BD делит четырехугольник на два треугольника: △ABD и △BCD.

Периметры треугольников, получившихся после деления диагональю, известны:

• Периметр △ABD = AB + BD + DA = 21 см.
• Периметр △BCD = BC + BD + CD = 30 см.
• Периметр всего четырехугольника ABCD = AB + BC + CD + DA = 31 см.

Теперь давайте решим задачу пошагово:

1. Сначала выразим сумму длин сторон четырехугольника через периметры треугольников. Из периметра четырехугольника имеем:

   $$AB + BC + CD + DA = 31$$

   Также известно, что:

   $$AB + BD + DA = 21 \quad \text{и} \quad BC + BD + CD = 30$$

2. Если из периметра всего четырехугольника вычесть периметры двух треугольников, то мы получим выражения для BD:

   $$(AB + BC + CD + DA) - (AB + BD + DA) - (BC + BD + CD) = 31 - 21 - 30$$

   Упростим это:

   $$AB + BC + CD + DA - (AB + DA + BD) - (BC + CD + BD) = 31 - 21 - 30$$

   Получим:

   $$31 - 21 - 30 = 31 - (21 + 30) = 31 - 51 = -20$$

   Итак, длина диагонали:

   $$BD = 10$$

   Таким образом, длина диагонали четырехугольника равна 10 см.