Учитель начертил на классной доске четырёхугольник.

Ян утверждал, что это квадрат. Андрей считал, что четырёхугольник — трапеция. Мария думала, что на доске изображен ромб. Ева назвала четырёхугольник параллелограммом.

Выслушав каждого и детально изучив свойства четырёхугольника, учитель установил, что ровно 3 из 4 утверждений истинны и ровно 1 утверждение ложно.

Какой четырёхугольник начертил учитель на классной доске?

Для решения этой задачи, давайте разберем каждое из утверждений по отдельности и попробуем установить, какой четырёхугольник нарисован на доске, учитывая, что три утверждения верны, а одно — ложное.

Рассмотрим каждое утверждение:

1. Ян утверждал, что это квадрат.
   Если четырёхугольник является квадратом, тогда:

   • У него все стороны равны, все углы прямые.
   • Это также параллелограмм, трапеция (в частном случае равнобокая трапеция) и ромб, так как квадрат соответствует всем этим условиям.

2. Андрей считал, что это трапеция.
   Трапеция — это четырёхугольник, у которого хотя бы одна пара противоположных сторон параллельна.
   Если четырёхугольник — трапеция, то это не обязательно квадрат, ромб или параллелограмм, так как у трапеции может быть только одна пара параллельных сторон.

3. Мария думала, что на доске изображен ромб.
   Ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны, но углы не обязательно прямые.
   Если четырёхугольник является ромбом, то это также параллелограмм, но не обязательно квадрат или трапеция.

4. Ева назвала четырёхугольник параллелограммом.
   Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине.
   Если четырёхугольник — параллелограмм, то он может быть квадратом или ромбом, но не обязательно трапецией.

Анализ утверждений:

Теперь проанализируем, какие комбинации утверждений могут быть истинными, чтобы три из четырёх утверждений оказались верными, а одно — ложным.

• Предположим, что утверждение Яна (о квадрате) ложно.
  Если четырёхугольник не является квадратом, тогда он может быть ромбом или параллелограммом, но не квадратом.
  В этом случае остаются утверждения Андрея (о трапеции), Марии (о ромбе) и Евы (о параллелограмме).

  • Если бы это была трапеция, то это противоречило бы утверждению Евы, так как трапеция — это не параллелограмм.
  • Если бы это был ромб, то это не противоречило бы ни утверждению Евы, ни утверждению Марии.

  Следовательно, если четырёхугольник — ромб, то утверждение Яна о квадрате — ложное, а утверждения Андрея, Марии и Евы — истинные.

Вывод:
Четырёхугольник на доске — это ромб. Таким образом:

• Утверждение Яна о том, что это квадрат, ложно.
• Утверждения Андрея (о трапеции), Марии (о ромбе) и Евы (о параллелограмме) верны.