3x/(x-1) + 4(x+1) = 6/(x²-1)

Для решения уравнения $\frac{3x}{x - 1} + 4(x + 1) = \frac{6}{x^2 - 1}$ начнем с упрощения выражений и приведения их к общему виду.

1. Заметим, что выражение $x^2 - 1$ можно разложить на множители:

   $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$

   Таким образом, уравнение становится:

   $$\frac{3x}{x - 1} + 4(x + 1) = \frac{6}{(x - 1)(x + 1)}$$

2. Теперь у нас есть дроби с одинаковыми и разными знаменателями. Приведем их к общему знаменателю. Для этого домножим первую часть уравнения на $(x + 1)$, а вторую на $(x - 1)$.

   Перепишем уравнение:

   $$\frac{3x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{4(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{6}{(x - 1)(x + 1)}$$

3. Теперь, поскольку все дроби имеют общий знаменатель $(x - 1)(x + 1)$, можем приравнять числители:

   $$3x(x + 1) + 4(x + 1)(x - 1) = 6$$

4. Раскроем скобки и упростим выражение:

   $$3x(x + 1) = 3x^2 + 3x$$ $$4(x + 1)(x - 1) = 4(x^2 - 1) = 4x^2 - 4$$

   Таким образом, уравнение принимает вид:

   $$3x^2 + 3x + 4x^2 - 4 = 6$$

5. Объединим подобные члены:

   $$7x^2 + 3x - 4 = 6$$

6. Переносим все на одну сторону:

   $$7x^2 + 3x - 10 = 0$$

7. Теперь решим квадратное уравнение $7x^2 + 3x - 10 = 0$ с помощью дискриминанта. Для этого вычислим дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(7)(-10) = 9 + 280 = 289$$

   Корни уравнения вычисляются по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{289}}{14} = \frac{-3 \pm 17}{14}$$

8. Таким образом, два возможных значения для $x$:

   $$x_1 = \frac{-3 + 17}{14} = \frac{14}{14} = 1$$ $$x_2 = \frac{-3 - 17}{14} = \frac{-20}{14} = -\frac{10}{7}$$

9. Но важно проверить, что оба значения не приводят к делению на ноль в исходном уравнении. Исходные знаменатели содержат выражения $x - 1$ и $x + 1$. Значение $x = 1$ делает знаменатель равным нулю, что невозможно. Поэтому $x = 1$ не подходит как решение.

10. Оставшееся решение:

    $$x = -\frac{10}{7}$$

Ответ: $x = -\frac{10}{7}$