Почему газ заполняет весь предоставленный ему сосуд?

Коротко: потому что молекулы газа непрерывно и хаотично движутся, сталкиваются друг с другом и со стенками, а состояние «равномерно заполнен весь объём» — это и есть наиболее вероятное и термодинамически устойчивое состояние при данных T и p. Любой «пустующий» угол — это градиент плотности/давления, который сам себя ликвидирует.

Чуть развёрнутее по слоям:

1) Кинетико-молекулярная картина.
Газ — это огромное число частиц с тепловыми скоростями сотни м/с. У них нет «любимого места» в сосуде: при ударах о стенки направление меняется случайно, а столкновения перемешивают траектории. Поэтому вероятность найти молекулу в любом малом объёме одинакова → со временем средняя концентрация выравнивается по всему доступному объёму.

2) Диффузия сглаживает неоднородности.
Если где-то молекул больше, возникает градиент концентрации $\nabla n$. По закону Фика поток $\mathbf{J}=-D\nabla n$ направлен из области большей плотности в меньшую. Пока существует неоднородность, идёт нетто-перенос частиц туда, где их меньше, — и так до равномерного распределения.

3) Давление и «засасывание пустоты».
Пустая часть сосуда означает локально меньшее давление. Разность давлений создаёт ускорение газа в «пустоту». Для идеального газа $pV = NkT$: как только доступный $V$ увеличился, газ расширяется до выравнивания давления во всём объёме.

4) Термодинамика: максимум энтропии / минимум свободной энергии.
Свободное расширение идеального газа из объёма $V_1$ в $V_2$ при неизменной температуре сопровождается ростом энтропии
$\Delta S = nR\ln(V_2/V_1) > 0$.
Состояние «занят весь доступный объём» имеет колоссально больше микросостояний, чем «газ скучился в углу», и потому статистически подавляюще вероятно. Равновесие достигается, когда химический потенциал (а значит, и давление при данном T) выровнен по всему сосуду.

5) Почему газ не собирается «в одном углу».
Это возможно только как крайне редкая флуктуация: вероятность того, что авогадровское число частиц одновременно окажется в малом под-объёме, практически нулевая. На человеческих шкалах времени такие события не наблюдаются.

6) Когда картина меняется.
— В сильном гравитационном поле на больших высотах возникает стратификация (плотность убывает с высотой по барометрической формуле), но в комнатных масштабах это почти не заметно.
— При низких T/высоких p начинают играть роль межмолекулярные притяжения: возможна конденсация, и газ уже не «идеален».
— В пористых/узких каналах появляются эффекты прилипания и медленного масс-переноса, но причина заполнения объёма остаётся той же — стремление к равновесию с максимальной энтропией.

Итого: газ заполняет весь предоставленный объём, потому что хаотическое тепловое движение и столкновения стирают любые градиенты, а состояние с равномерным распределением частиц соответствует максимуму энтропии и равенству давления по всему сосуду.