Тело бросают вертикально вверх. Каковы начальная скорость и время движения, если на высоте h тело побывало дважды с интервалом t0?

Если тело бросается вертикально вверх, то его движение подчиняется законам кинематики, учитывая силу тяжести. Пусть тело поднимается на высоту $h$, и на этой высоте оно побывало дважды — один раз при подъеме, второй раз при сплошном сплошном падении. Мы знаем, что время, через которое тело повторно достигает этой высоты, равно $t_0$. Необходимо найти начальную скорость $v_0$ и время, которое прошло с момента броска до того, как тело вернулось на высоту $h$.

1. Уравнение движения

Для тела, брошенного вертикально вверх, уравнение движения будет выглядеть так:

где:

• $y(t)$ — высота тела в момент времени $t$,

• $v_0$ — начальная скорость,

• $g$ — ускорение свободного падения (приблизительно $9.8 \, м/с^2$),

• $t$ — время.

2. Время, когда тело достигает высоты $h$ при подъеме и сплошном падении

Пусть $t_1$ — время, когда тело достигло высоты $h$ при подъеме, а $t_2$ — время, когда тело снова пройдет эту высоту на сплошном падении.

Так как на высоте $h$ тело побывало дважды, то разность во времени, то есть $t_2 - t_1$, равна интервалу $t_0$. Следовательно:

Теперь, подставив высоту $h$ в уравнение движения, получаем два уравнения:

и

Поскольку $t_2 = t_1 + t_0$, подставим это в уравнение для $t_2$:

3. Разрешение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $h = v_0 t_1 - \frac{1}{2} g t_1^2$,

2. $h = v_0 (t_1 + t_0) - \frac{1}{2} g (t_1 + t_0)^2$.

Для упрощения решения можно вычесть первое уравнение из второго, что даст:

Раскрыв скобки:

Преобразуем это уравнение: